Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若方程有两个不等实数根，，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）求出，即在恒成立，即对恒成立；

（2）当时，方程，令，则有；不妨设，则，，，.

解：（1），

∵函数在上单调递增，

∴在恒成立，即对恒成立，

∴对恒成立，即，，

令，则，

∴在上单调递减，

∴在上的最大值为.

∴的取值范围是.

（2）∵当时，方程，

令，则，

当时，，故单调递减，

当时，，故单调递增，

∴.

若方程有两个不等实根，则有，即，

当时，，

，

，令，

则，单调递增，，

∴，∴原方程有两个不等实根，

∴实数的取值范围是.

不妨设，则，，

∴，

∵，

∴

,

.

令，则，

∴在上单调递增，

∴当时，，即，

∴，∴.