Question

【题目】已知函数, .

（1）当时,求函数f(x)的值域；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的值域为[0,4].（2）a的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）化简函数得f(x)＝ln2x－2ln x＋1，令t＝ln x∈[－1,2]，得y＝t2－2t＋1，根据二次函数性质求最值即可；

（2）由条件知ln2x－aln x－2a－1≤0恒成立，令t＝ln x∈[－1,2]，所以t2－at－2a－1≤0恒成立，利用二次函数性质，讨论单调性，只需ymax≤0即可.

试题解析：

(1)当a＝1时，y＝f(x)＝ln2x－2ln x＋1，

令t＝ln x∈[－1,2]，所以y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，

当t＝1时，取得最小值0；t＝－1时，取得最大值4

所以f(x)的值域为[0,4]．

(2)因为f(x)≤－aln x＋4，所以ln2x－aln x－2a－1≤0恒成立，

令t＝ln x∈[－1,2]，所以t2－at－2a－1≤0恒成立，设y＝t2－at－2a－1，

所以当≤即a≤1时，当t＝2时ymax＝－4a＋3≤0，所以≤a≤1，

当>即a>1时，当t＝-1时ymax＝－a≤0，所以a>1，

综上所述，a的取值范围为。