题目内容
【题目】已知半径为
的球面上有两点
，且
，球心为
，若
是球面上的动点，且二面角
的大小为
，则四面体
的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
设
所在截面圆的圆心为
，
中点为
，连接
，易知
，
，从而可知
即为二面角
的平面角，
，进而可求出
，
，
，由到
三点的距离相等，可知四面体
外接球的球心
在射线上，设四面体外接球半径为
，在
中，由勾股定理，可得
，可求出，进而求出外接球的表面积.
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
则
，所以，同理，所以即为二面角的平面角，.
因为
，
，所以
是等腰直角三角形，所以
.
在
中，由
，得
，由勾股定理，得
.
因为到三点的距离相等，所以四面体外接球的球心在射线上.
设四面体外接球半径为，在中，
，
，
，由勾股定理，可得，即
，解得
，所以
.
故答案为：.
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100
的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
平均车速超过100 | 平均车速不超过100 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入
（亿元）与科技改造直接收益
（亿元）的数据统计如下：
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
当
时，建立了
与的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当
时，确定与满足的线性回归方程为：
.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
（附：刻画回归效果的相关指数
，
.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式
；
）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率
大幅提高，
服从正态分布
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过
，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过
，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量
服从正态分布
，则
，
.）
【题目】2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的
列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为
，求的分布列及数学期望．
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
附参考公式及数据：
，其中
.
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
