题目内容

已知:向量O为坐标原点,动点M满足:.
(1) 求动点 M的轨迹 C的方程;
(2)已知直线都过点,且与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在,指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程);若不存在,请说明理由.
设点,则         …… 1分
  
   ……… ……… ……… 2分
∴点 M的轨迹C是以为焦点,长轴长为 4 的椭圆……… …… ……… 4分
   ∴   
∴ 动点M的轨迹 C的方程为    ……… ……… ……… 6分
 
(2)由(1)知,轨迹C是椭圆,点是它的上顶点,             
设满足条件的直线存在,直线的方程为  ①
则直线的方程为,② ……… ……… ……… 7分
将①代入椭圆方程并整理得:,可得,则.
将②代入椭圆方程并整理得:,可得,则.
由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分
    ④…………………………………………12分
∵方程④.
∴即满足条件的直线存在,共有3组.
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