题目内容

选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
x=4cosθ
y=3sinθ
为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0(ρ≥0).
(I)化曲线C1的参数方程为普通方程,化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程;
(II)直线l:
x=2+t
y=-
3
2
+λt
(t
为参数)过曲线C1与y轴负半轴的交点,求直线l平行且与曲线C2相切的直线方程.
分析:(Ⅰ)利用三角函数的平方关系和极坐标与直角坐标的互化公式即可;
(Ⅱ)利用已知条件先求出直线l的方程,再利用直线与圆相切的充要条件即可求出.
解答:解:(Ⅰ)由曲线C1的参数方程为
x=4cosθ
y=3sinθ
为参数),消去参数θ化为普通方程
x2
16
+
y2
9
=1

由曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0(ρ≥0)得ρ2+6ρsinθ-8ρcosθ=0化为直角坐标方程x2+y2+6y-8x=0可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心C2(4,-3),半径r=5.
(Ⅱ)由曲线C1的方程
x2
16
+
y2
9
=1
,令x=0得y=±3,∴曲线C1与y轴负半轴的交点为(0,-3);
∵直线l:
x=2+t
y=-
3
2
+λt
(t
为参数)过点(0,-3),∴
0=2+t
-3=-
3
2
+λt
,解得
t=-2
λ=
3
4

∴直线l的方程为3x-4y-12=0.
设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x-4y+m=0,
则圆心C2(4,-3)到直线l的距离d=r,即
|3×4-4×(-3)+m|
32+42
=5
化为|m+24|=25,解得m=1或-49,
∴与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x-4y+1=0或3x-4y-49=0.
点评:熟练掌握三角函数的平方关系、极坐标与直角坐标的互化公式、直线与圆相切的充要条件是解题的关键.
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