题目内容

15.证明;当x>1时,有ln2(x+1)>lnx•ln(x+2)

分析 证明:(x+1)2>x2+2x>1,取对数,结合基本不等式,即可证明结论.

解答 证明:∵x>1,
∴(x+1)2>x2+2x>1,
∴ln(x+1)2>ln[x(x+2)]>0,
∴2ln(x+1)>lnx+ln(x+2),
∴ln(x+1)>$\frac{1}{2}$[lnx+ln(x+2)],
∵$\frac{1}{2}$[lnx+ln(x+2)]>$\sqrt{lnx•ln(x+2)}$,
∴ln(x+1)>$\sqrt{lnx•ln(x+2)}$,
∴当x>1时,有ln2(x+1)>lnx•ln(x+2).

点评 本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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