Question

7．若数列{a_n}的第四项是15，（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0（n∈N^*），则满足条件的a₁所有可能值之积为0．

Answer 1

分析 通过（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0可知a_n+1-a_n=3或a_n+1=4a_n，进而通过a₄=15可知a₃=12或a₃=$\frac{15}{4}$，进而分类讨论即得结论．

解答 解：∵（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1=4a_n，
又∵a₄=15，
∴a₃=12或a₃=$\frac{15}{4}$，
（1）当a₃=12时a₂=9或a₂=3，
①当a₂=9时，a₁=6或a₁=$\frac{9}{4}$；
②当a₂=3时，a₁=0或a₁=$\frac{3}{4}$；
（2）当a₃=$\frac{15}{4}$时a₂=$\frac{3}{4}$或a₂=$\frac{15}{16}$，
①当a₂=$\frac{3}{4}$时，a₁=-$\frac{9}{4}$或a₁=$\frac{3}{16}$；
②当a₂=$\frac{15}{16}$时，a₁=-$\frac{33}{16}$或a₁=$\frac{15}{64}$；
综上所述，a₁可能值为0，
∴满足条件的a₁所有可能值之积为0，
故答案为：0．

点评 本题考查数列的递推式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．