题目内容
【题目】已知函数在
处有极值
.
(1)求的解析式;
(2)若关于的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意得出可得出关于
、
的方程组,解出这两个量的值,进而可求得函数
的解析式;
(2)构造函数,由题意可知,不等式
对任意的
恒成立,求出导数
,对实数
进行分类讨论,分析函数
在区间
上的单调性,求出其最大值
,通过解不等式
可求得实数
的取值范围.
(1),
,
因为函数在
处有极值
,
得,
,解得
,
,
所以;
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,
令,
则不等式对任意的
恒成立,则
.
.
又函数
的定义域为
.
①当时,对任意的
,
,则函数
在
上单调递增.
又,所以不等式
不恒成立;
②当时,
.
令,得
,当
时,
;当
时,
.
因此,函数在
上单调递增,在
上单调递减.
故函数的最大值为
,由题意得需
.
令,
函数
在
上单调递减,
又,由
,得
,
,
因此,实数的取值范围是
;
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