题目内容
【题目】已知
是底面边长为
的正四棱柱，
是
和
的交点.
（1）若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角
的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若点
到平面
的距离为
，求正四棱柱的高.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由题意，正四棱柱
是棱长为1的正方体，连结
，则
是二面角
的平面角，由此能求出二面角的大小.
（2）设正四棱柱的高为
，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出正四棱柱的高.
（1）由题意，正四棱柱是棱长为
的正方体，
连结，因为
，
为
的中点，所以
，
又
，所以是二面角的平面角.
因为
平面
，所以
，
所以，
.
所以，二面角的大小为；
（2）设正四棱柱的高为.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
设平面
一个法向量为
，
由
得
即
取
，得
，
所以，点
以平面的距离为
，
解得
.
所以，正四棱柱的高为.
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