题目内容
(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD//BC且AD﹥BC,∠DAB=∠ABC=90°,PA=
,AB=BC=1。M为PC的中点。

(1)求二面角M—AD—C的大小;(6分)
(2)如果∠AMD=90°,求线段AD的长。(6分)


(1)求二面角M—AD—C的大小;(6分)
(2)如果∠AMD=90°,求线段AD的长。(6分)
(1)

(2)2
(1)取AC的中点H,连MH,则MH//PA,所以MH⊥平面ABCD,过H作HN⊥AD于N,连MN,由三垂线定理可得MN⊥AD,则∠MNH就为所求的二面角的平面角

AH
在Rt△ANH中,
则在Rt△MHN中,
故所示二面角的大小为
(2)若AM⊥MD,又因为PA=AC=
,M为PC的中点,
则AM⊥PC,所以AM⊥平面PCD,则AM⊥CD。
AM在平面ABCD的射影为CD,由三垂线定理可知其等价于AC⊥CD,
此时△ACD为等腰直角三角形,所以AD=
AC=2

AH

在Rt△ANH中,

则在Rt△MHN中,

故所示二面角的大小为

(2)若AM⊥MD,又因为PA=AC=

则AM⊥PC,所以AM⊥平面PCD,则AM⊥CD。
AM在平面ABCD的射影为CD,由三垂线定理可知其等价于AC⊥CD,
此时△ACD为等腰直角三角形,所以AD=


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