Question

4．已知函数f（x）=ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$．
（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值；
（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到所求m的值；
（2）不等式ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1-（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1-（x+1）ln（x+1）（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{m}{（x+1）^{2}}$，
∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1-m，
∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y-x+1=0垂直，
∴1-m=-4，∴m=5；                                              
（2）依题意不等式ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥0时恒成立，
即m≥x+1-（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．
令g（x）=x+1-（x+1）ln（x+1）（x≥0），
则g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），
∴x≥0时，g′（x）≤0，
∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，
∴g（x）≤g（0）=1，∴m≥1
即实数m的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，注意运用分离参数和函数的单调性是解题的关键．