题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 $数学公式$ 相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）求 $数学公式$ 的取值范围．

（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，
∴b= $\text{[math]}$ ，
∵椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$
（2）证明：设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）
将直线PB：y= $\text{[math]}$ 代入椭圆 $\text{[math]}$ ，可得[3+ $\text{[math]}$ ]x²- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -12=0
设E（x₁，y₁），则x₁+x₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴y₁= $\text{[math]}$
∴直线AE： $\text{[math]}$
化简可得 $\text{[math]}$
∴直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）
（3）解：由（2）知x₁+x₀= $\text{[math]}$ ，x₁x₀= $\text{[math]}$ ，y₁y₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =x₁x₀-y₁y₀，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设5-2x₀=t，∵x₀∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵t∈（1，9），∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （-4， $\text{[math]}$ ]
分析：（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，即可求出椭圆C的方程；
（2）设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），将直线PB：y= $\text{[math]}$ 代入椭圆 $\text{[math]}$ ，可得[3+ $\text{[math]}$ ]x²- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -12=0，从而可得E的坐标，从而可得直线AE的方程，进而可知直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）由（2）知x₁+x₀= $\text{[math]}$ ，x₁x₀= $\text{[math]}$ ，y₁y₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =x₁x₀-y₁y₀，从而可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设5-2x₀=t，进而可确定 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量知识的运用，同时考查学生分析解决问题的能力与计算能力．