题目内容
【题目】如图,在中,
,
,
,现沿
的中位线
将
翻折至
,使得二面角
为
.
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由已知可得,进而证
平面
,即可证明结论;
(2)取中点
,连
,则
,求
与平面
所成角即可,由(1)得平面
平面
,在平面
内过
作
于
,连
,可得
平面
,
为
与平面
所成的角,解
即可,或建立空间直角坐标系,用向量法求解.
(1)因为,
,所以
,
,
,所以
平面
,
平面
,所以
.
(2)解法一:取中点
,在平面
内过
作
于
,
连接,由(1)可知,
平面
,∴平面
平面
,
∴平面
,∴
为
与平面
所成的角,
由(1)可知
为二面角
的平面角,即
,
且,∴
,
∵,
,
∴,
在中,
,
在中,
,
∵,∴直线
与平面
所成角的正弦值也为
.
解法二:由(1)得平面
,因为
,所以
平面
,
以为原点,
,
分别为
,
轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
所以,
设平面的法向量为
,
由,即
,
,
令,则
,所以
,
设与平面
所成角为
,
则.
∴直线与平面
所成角的正弦值也为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某市为了了解该市教师年龄分布情况,对年龄在内的5000名教师进行了抽样统计,根据分层抽样的结果,统计员制作了如下的统计表格:
年龄区间 | ||||
教师人数 | 2000 | 1300 | ||
样本人数 | 130 |
由于不小心,表格中部分数据被污染,看不清了,统计员只记得年龄在的样本人数比年龄在
的样本人数多10,根据以上信息回答下列问题:
(1)求该市年龄在的教师人数;
(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图,并求该市教师年龄的平均数及方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表).