题目内容

设正整数数列满足:,且对于任何,有
(1)求
(2)求数列的通项
(1)  , ;(2) .

试题分析:(1)令,根据算得,再根据是正整数,算得.
时,同样根据,将代入,得到的范围,根据是正整数,求得.
(2)先根据可猜想,再用数学归纳法证明.
试题解析:解:(1)据条件得   ①
时,由,即有
解得.因为为正整数,故
时,由
解得,所以
(2)方法一:由,猜想:
下面用数学归纳法证明.
1时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则
由①得


因为时,,所以
,所以
,所以
,即时,成立.
由1,2知,对任意
(2)方法二:
,猜想:
下面用数学归纳法证明.
1时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则
由①得

由②左式,得,即,因为两端为整数,
.于是
又由②右式,

因为两端为正整数,则
所以
又因时,为正整数,则
据③④,即时,成立.
由1,2知,对任意
练习册系列答案
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