题目内容
设正整数数列满足:,且对于任何,有.
(1)求,;
(2)求数列的通项.
(1)求,;
(2)求数列的通项.
(1) , ;(2) .
试题分析:(1)令,根据算得,再根据是正整数,算得.
当时,同样根据,将代入,得到的范围,根据是正整数,求得.
(2)先根据可猜想,再用数学归纳法证明.
试题解析:解:(1)据条件得 ①
当时,由,即有,
解得.因为为正整数,故.
当时,由,
解得,所以.
(2)方法一:由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
因为时,,所以.
,所以.
又,所以.
故,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
(2)方法二:
由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
即②
由②左式,得,即,因为两端为整数,
则.于是③
又由②右式,.
则.
因为两端为正整数,则,
所以.
又因时,为正整数,则④
据③④,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
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