Question

【题目】已知函数f（x）=kx+log9（9x+1）（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）=log9（a3x﹣ a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函数，∴由f（﹣x）=f（x）得﹣kx+log9（9﹣x+1）=kx+log9（9x+1），

整理得

（2）解：由题意知，方程 只有一解，即 有且只有一个实根，

令t=3x，则t∈（0，+∞），

从而方程 有且只有一个正实根t，

当a﹣1=0时， （舍去），

当a﹣1≠0时，若判别式△=0，即 +4a﹣4=0，

即4a2+9a﹣9=0得a=﹣3或a= ，

当a= 时，t＜0，不满足条件．舍去，

若△＞0，则t1t2＜0，得 ，则a＞1，

从而所求a的范围是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解．（2）根据函数g（x）和f（x）图象的交点个数进行讨论求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．