Question

【题目】知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．

（1）判断函数 f （x）的单调性；

（2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，分别令得增区间， 得减区间；（2）求出，令，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可证明.

试题解析：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+=，

令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

则f（x）在（0，+∞）递增；

②a＜时，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x1=，x2=，

（i）0＜a＜时，0＜x1＜x2，

此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增；

（ii）a＜0时，x2＜0＜x1，

此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增，

∴a≥时，f（x）在（0，+∞）递增，

0＜a＜时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增，

a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增；

（2）证明：由（1）得0＜a＜时，函数f（x）有2个极值点x1，x2，

且x1+x2=，x1x2=，

∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜），

则h′（a）=﹣（﹣）=＞0，

∴h（a）在（0，）递增，

则h（a）＜h（）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x1）+f（x2）＜﹣3．