题目内容

【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)= ,则关于x的方程f(x)+a=0(0<a<1)的所有根之和为

【答案】1﹣2a
【解析】解:∵f(x)为定义在R上的奇函数

∴f(﹣x)=﹣f(x),

∵当x≥0时,f(x)=

∴当x<0时,f(x)=

作出图象:

∵关于x的方程f(x)+a=0(0<a<1)的根转化为f(x)的图象与y=﹣a(0<a<1)图象的交点问题.

从图象上依次零点为:x1,x2,x3,x4,x5

根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6,x4+x5=6,

x3满足:log (1﹣x3)=﹣a,

解得:

故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a

所以答案是:1﹣2a

【考点精析】认真审题,首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇).

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