Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，P是椭圆C₁上任意一点，设该双曲线C₂：以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限内的任意一点，且c=

a2-b2

（1）设

PF1

•

PF2

的最大值为2c²，求椭圆离心率；
（2）若椭圆离心率e=

1

2

时，是否存在λ，总有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，可知椭圆焦点坐标，进而表示出

PF1

•

PF2

，把点P坐标代入椭圆方程求得y，代入

PF1

•

PF2

中求得x²=a²时，

PF1

•

PF2

最大值为b²，进而推断出b²=2c²，根据a，b和c的关系求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）根据离心率可求得a和c的关系，设出双曲线方程，设B（x₀，y₀）代入双曲线方程，先看当AB⊥x轴时，可求得x₀和y₀进而求得∠BAF₁=

π

2

=2∠BF₁A；在看x≠2c时．表示出tanBAF₁和tan∠BF₁A，利用正切的二倍角公式求得tan2∠BF₁A和tan2∠BF₁A得出tan2∠BF₁A=tanBAF₁的结论，进而判断出2∠BF₁A=∠BAF₁成立，最后综合的可得结论．

解答：解：（1）设P（x，y），又F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y）
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²
又

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y²=b²-

x2b2

a2

∵0≤x²≤a²，
∴

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²=

c2

a2

x²+b²-c²．
x²=a²时，

PF1

•

PF2

最大值为b²
故b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e=

c

a

=

3

3

；
（2）由椭圆离心率e=

1

2

，a=2c，b=

3

c得双曲线C₂：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）
设B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）则

x 02

c2

-

y 02

3c2

=1
①当AB⊥x轴时，x₀=2c，y₀=3c．
∴tan∠BF₁A=1，
∴∠BF₁A=45°
∴∠BAF₁=

π

2

=2∠BF₁A．
当x≠2c时．
tanBAF₁=

-y

x0 -a

=

-y

x0 -2c

，tan∠BF₁A=

y0

x0+c

，
∴tan2∠BF₁A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

∵y₀²=3c²（

x 2 0

c2

-1）=3（x₀²-c²）
∴tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(  x 2 0  -c2)

=

-y

x0 -2c

=tanBAF₁，

又2∠BF₁A与∠BAF₁同在（0，

π

2

）或（

π

2

，π）内
2∠BF₁A=∠BAF₁
总2∠BF₁A=∠BAF₁有成立．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，向量的基本计算，正切的二倍角公式等．考查了学生综合分析和推理能力．