Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F别是AB、PD的中点．若PA=AD=CD=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）找出AD边上的中点M，连接FM，EM，得到FM与面ABCD垂直，进而得到AC与FM垂直，再由中位线定理得到AC垂直于EM，得到AC与面EFM中两条相交的直线垂直，即AC垂直于面EFM，即可得证；
（2）建立平面直角坐标系，如图所示，表示出$\overrightarrow{FC}$以及法向量$\overrightarrow{n}$，利用平面向量的数量积运算法则求出直线FC平面PCE所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）找出AD边上的中点M，连接FM，EM，
可得FM⊥面ABCD，即AC⊥FM；
∵EM∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥EM，
∵FM与EM相交，
∴AC⊥面EFM，
则AC⊥EF；
（2）建立平面直角坐标系，如图所示，
∴C（4，4，0），F（0，2，2），
∴$\overrightarrow{FC}$=（-4，-2，2），
设法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵E（2，0，0），P（0，0，4），C（4，4，0），
∴$\overrightarrow{EP}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{EC}$=（2，4，0），
∵$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{EC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4z=0}\\{2x+4y=0}\end{array}\right.$，
取x=2，得到y=-1，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{FC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{FC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{3}$，
则直线FC平面PCE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．