题目内容
已知坐标平面内:
,
:
.动点P与
外切与
内切.
(1)求动圆心P的轨迹的方程;
(2)若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B,求AB的长;
(3)过D的动直线与曲线交于A、B两点,线段中点为M,求M的轨迹方程.
(1);(2)
;(3)
解析试题分析:(1)由圆的内切与外切的圆心距与圆的半径的关系,根据椭圆的定义可求出椭圆的方程.
(2)由过点D的直线及斜率可写出该直线方程.再联立椭圆方程即可得通过弦长公式即可求得AB弦的长度.
(3)有点差法可得到一个关于中点坐标和斜率的关系的等式,同时再利用斜率的另一种表示形式,就如中点与点D再得到斜率的一个等式,消去相应的k从而可得一个关于中点x,y的一个等式.即为所求的中点的轨迹方程.
试题解析:(1)依题意可得,当令动圆半径为r时,有,易得
.由椭圆的定义可知,点P的轨迹是以C(-1,0)、D(1,0)为焦点的椭圆.令椭圆方程为
.所以点P的轨迹方程为
.
(2)过点D斜率为2的直线方程为:由
,消去y得到
.所以
.
(3)据点差法结果可知若令M坐标为(x,y),则有
,化简可得:
考点:1.椭圆的定义.2.椭圆的中的弦长公式.3.点差法的应用.4.方程的思想.5.数学中常见的算两次的思想.