题目内容
已知椭圆的左、右焦点分别为,且,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆方程;
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M、N,又点,当时,求实数m的取值范围,
(1).
(2)时,的取值范围是;时,的取值范围是
解析试题分析:(1)由已知,可得,,
利用,即得,,求得椭圆方程.
(2)应注意讨论和的两种情况.
首先当时,直线和椭圆有两交点只需;
当时,设弦的中点为分别为点的横坐标,
联立,得,
注意根据,确定 ① 平时解题时,易忽视这一点.
应用韦达定理及中点坐标公式以及 得到 ②,
将②代入①得,解得, 由②得 ,
故所求的取值范围是.
试题解析:(1)由已知,可得,,
∵,∴,,
∴. 4分
(2)当时,直线和椭圆有两交点只需; 5分
当时,设弦的中点为分别为点的横坐标,由,得,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,所以
,即 ① 7分
9分
又 ②, 10分
将②代入①得,解得, 由②得 ,
故所求的取值范围是. 12分
综上知,时,的取值范围是;
时,的取值范围是 13分
考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,不等式解法.
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