题目内容
【题目】已知动点满足
,记M的轨迹为曲线C,直线l:
(
)交曲线C于P,Q两点,点P在第一象限,
轴,垂足为E,连接QE并延长交曲线C于点G.
(1)求曲线C的方程,并说明曲线C是什么曲线;
(2)若,求
的面积.
(3)求面积的最大值.
【答案】(1),轨迹是以
、
为焦点的椭圆
(2)
(3)
【解析】
(1)根据,由两点间的距离公式可看出,其表示动点
与两定点
、
的距离之和为
,且
,可知其符合椭圆的定义,把相关量代入椭圆标准方程,即可求解;
(2)写出直线的方程与曲线
的方程联立,便可解出点
坐标,进而知道点
的坐标,再求出直线
的方程后,与曲线
的方程联立,可解出点
的坐标,再代
公式,即可求出面积;
(3)将直线的方程与曲线
的方程联立,解出点
坐标,进而得点
的坐标,再求出直线
的方程后,与曲线
的方程联立,可得点
坐标,再根据点
坐标,得直线
的斜率,可验证
,得
是直角三角形,代两点间的距离公式可求出
,所以
是一个关于直线
的斜率的函数,由函数求最值的方法,即可求解.
(1)由,可得点
到点
、
的距离之和为4且
,所以动点
的轨迹是以
、
的椭圆,其中
,
,即
,
,所以曲线C的轨迹方程为
,轨迹是以
、
的椭圆.
(2)根据题意得,与
联立
,解得
或
所以P点坐标为,Q点坐标为
因为轴,垂足为E,所以E点坐标为
所以直线QE方程为
与联立,可得
,整理可得
或
所以G点坐标为
(3)设直线PQ的斜率为k,则其方程为(
).由
得
.
记,则
,
,
.
于是直线QG的斜率为,方程为
.
由得
——①
设,则
和
是方程①的解,故
.由此得
.
从而直线PG的斜率为.
所以,即
是直角三角形.
得,
.
所以的面积
.
设,则由
得
,当且仅当
时取等号.
因为在
单调递减,所以当
,即
时,S取得最大值,最大值为
.
因此,面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每种单价(元)试销l天,得到如表单价
(元)与销量
(册)数据:
单价 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根据表中数据,请建立关于
的回归直线方程:
(2)预计今后的销售中,销量(册)与单价
(元)服从(l)中的回归方程,已知每册书的成本是12元,书店为了获得最大利润,该册书的单价应定为多少元?
附:,
,
,
.