Question

20．已知函数f（x）=sin2x+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$），则f（x）的值域是[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 把函数解析式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式进行变形，然后利用完全平方公式化简，由余弦函数的值域即可得到函数的值域．

解答 解：f（x）=sin2x+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=2[cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$]²-$\frac{5}{4}$，
∵cos（x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2[cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$]²-$\frac{5}{4}$∈[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．

点评 此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及完全平方公式的应用，其技巧性比较强，熟练掌握公式是解本题的关键．