Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1，E，F分别为棱BB₁和DD₁的中点．
（1）求证：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）求四面体A₁-FEA的体积．
（3）若G是C₁D₁上靠近C₁的四等分点，动点H在底面ABCD内，且AH=

1

2

，请说明点H的轨迹，并探求GH长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）先证线面平行，再利用面面平行的判定定理证明平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）利用三棱锥的换底性，得VA1-AEF=VE-A1AF，求出三棱锥E-A₁AF的体积即可；
（3）由AH=

1

2

，动点H在底面ABCD内，故点H的轨迹为

1

4

圆弧，根据MH≥MA-AH，求出MH，利用GH=

GH2+MH2

求得最小值．

解答：解：（1）∵E，F分别为棱BB₁和DD₁的中点，∴FD∥B₁E，FD=B₁E，
∴四边形FDEB₁为平行四边形，∴DF∥FB₁，DF?平面ADE，FB₁?平面ADE，
∴FB₁∥平面ADE，
又AD∥B₁C₁，AD?平面ADE，B₁C₁?平面ADE，∴B₁C₁∥平面ADE，
又FB₁∩B₁C₁=B₁，∴平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）连接EF、AF、A₁F，A₁E，
∴VA1-AEF=VE-A1AF=

1

3

×

1

2

×AA₁×AD×AB=

1

6

×1×1×1=

1

6

；
（3）∵AH=

1

2

，动点H在底面ABCD内，∴点H的轨迹为

1

4

圆弧，
过G作GM⊥CD，垂足为M，∵MH≥MA-AH=

( 3 4 )2+12

-

1

2

=

3

4

，
又GH=

GH2+MH2

≥

12+( 3 4 )2

=

5

4

．
∴GH长度的最小值为

5

4

．

点评：本题考查了面面平行的判定，棱锥的体积计算及点到点的距离的求法，考查了识图、作图能力与空间想象能力，正确判定点H的轨迹是求得GH最小值的关键．