Question

9．已知抛物线C：y²=4x，经点K（-2，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，且直线BD与x轴相交于点P（m，0），求m的值．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出直线l的方程为x=my-2，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，再设出A，B，D的坐标，利用根与系数关系得到A，B的纵坐标的和与积，把BD的斜率用A，B的坐标表示，写出BD的方程，取y=0得到直线与x轴交点的横坐标，然后结合根与系数关系及点A在抛物线上整体运算求得m的值．

解答 解：如图，
由题意可设直线l的方程为x=my-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=8，
${k}_{BD}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{4m}{（m{y}_{2}-2）-（m{y}_{1}-2）}$=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
∴直线BD的方程为：$y+{y}_{1}=\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
取y=0，
得：$x=\frac{{y}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}+{x}_{1}$=$\frac{{y}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}+m{y}_{1}-2=\frac{4m{y}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$
=$\frac{4（{x}_{1}+2）-{{y}_{1}}^{2}}{4}=\frac{8+4{x}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{8}{4}=2$．
即m=2．

点评 本题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求的思想方法，是中档题．