Question

14．已知复数z满足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部为2．
（1）若z对应的点在第三象限，求复数z；
（2）若z对应的点在第一象限，$\overline{z}$是z的共轭复数，求f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ（n∈N^*），求集合{f（n）}中元素的个数．

Answer 1

分析 设出复数z，利用已知求得z．
（1）由z对应的点在第三象限，求得具体复数z；
（2）把对应的点在第一象限的z求出，代入f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ，然后分n为奇数和偶数得答案．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
由|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部为2，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{2xy=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
（1）若z对应的点在第三象限，则复数z=-1-i；
（2）若z对应的点在第一象限，则z=1+i，$\overline{z}$=1-i，
∴$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=i$，$\frac{\overline{z}}{z}$=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=-i$，
则f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ =i²ⁿ+（-i）²ⁿ=2•（-1）ⁿ．
当n为奇数时，f（n）=-2；
当n为偶数时，f（n）=2．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．