Question

19．已知sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，且α，β均为锐角，则α+β的值为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos（α+β）的值，可得α+β的值．

解答 解：∵sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，且α，β均为锐角，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
结合α+β∈（0，π），求得α+β=$\frac{π}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．