Question

14．函数f（x）=sinx在区间（0，2π）上可找到n个不同数x₁，x₂，…，x_n，使得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$，则n的最大值等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 设$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k，则条件等价为f（x）=kx在区间（0，2π）上的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，数形结合可得结论．

解答 解：设$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k，则条件等价为f（x）=kx在区间（0，2π）上的根的个数，
作出函数f（x）和y=kx的图象，
由图象可知y=kx与函数f（x）在区间（0，2π）上的交点个数最多为2，
故选：B．

点评 本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．