Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$（2，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$（2，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，联立解得即可．
（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-8=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₀，y₀），利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得（x₀，y₀），可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．

解答 解：（I）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$（2，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，
联立解得b=c=2，a²=8．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，∴m=0．
当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
化为（1+2k²）x²+8k²x+8k²-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₀，y₀），
则x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴线段MN的垂直平行线的方程为$y-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$$（x+\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）$，
令x=0，可得m=y=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{-2}{\frac{1}{k}+2k}$，
当k＞0时，m≥-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号；当k＜0时，m≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
综上可得：m的取值范围是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．