题目内容
已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c为常数）
（1）证明：{
}是等差数列；
（2）若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{
}是等差数列，并说明理由．
（3）问是否存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立？若存在，请写出c满足的条件，若不存在，说明理由．
（1）证明：{
| an |
| n |
（2）若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{
| an |
（3）问是否存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立？若存在，请写出c满足的条件，若不存在，说明理由．
分析：（1）根据nan+1=（n+1）an+cn（n+1）化简变形得
-
=c，然后根据等差数列的定义进行判定即可；
（2）根据（1）求出an的通项公式，而{
}是等差数列的充要条件是
=an+b，然后化简变形可求出c的值；
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值，注意p+q的范围．
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
（2）根据（1）求出an的通项公式，而{
| an |
| an |
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值，注意p+q的范围．
解答：解：（1）∵nan+1=（n+1）an+cn（n+1）
∴
=
+c，即
-
=c
从而数列{
}是首项为1，公差为c的等差数列
（2）由（1）可得
=1+（n-1）c，即an=cn2+（1-c）n
{
}是等差数列的充要条件是
=an+b
即a2n2+2abn+b2=n2+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-
，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=
（k∈N且k≥3）．
∴
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
从而数列{
| an |
| n |
（2）由（1）可得
| an |
| n |
{
| an |
| an |
即a2n2+2abn+b2=n2+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-
| 1 |
| c |
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=
| 1 |
| 1-k |
点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及新数列是等差数列的充分不必要条件，同时考查了计算能力，属于中档题．
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