Question

【题目】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．

（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．

Answer 1

【答案】（1）① ②（2）当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 (km)时，铺设的排污管道总长度最短．

【解析】试题分析：（1）第（1）问第①问，先根据已知把表示成的函数，再利用三角恒等变换的知识化简函数. 第②问，直接利用两点间的距离公式把表示成的函数.(2)第（2）问，先对函数求导，再求出函数的单调区间，最后根据单调区间得到函数的最小值.

试题解析：

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，

则, 故，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为

②若OP= (km) ，则OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函数关系式为

（2）选择函数模型①，

令0 得sin ，因为，所以=，

当时， ， 是的减函数；当时， ， 是的增函

数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．这时 (km)

因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 (km)时，铺设的排污管道总长度最短．