题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且AD=2PD=2.
(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)见解析 (2)见解析(3)
【解析】
(1)先证明平面MEN∥平面PCD,再由面面平行的性质证明MN∥平面PCD;
(2)证明AC⊥平面PBD,即可证明平面PAC⊥平面PBD;
(3)利用锥体的体积公式计算即可.
(1)证明:取AD的中点E,连接ME、NE,
∵M、N是PA、BC的中点,
∴在△PAD和正方形ABCD中,ME∥PD,NE∥CD;
又∵ME∩NE=E,PD∩CD=D,
∴平面MEN∥平面PCD,
又MN平面MNE,
∴MN∥平面PCD;
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
又∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,
且PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PBD,
∴平面PAC⊥平面PBD;
(3)∵PD⊥底面ABCD,
∴PD是四棱锥P-ABCD的高,且PD=1,
∴正方形ABCD的面积为S=4,
∴四棱锥P-ABCD的体积为
VP-ABCD=×S四边形ABCD×PD=
×4×1=
.

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