题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCDMN分别是PABC的中点,且AD=2PD=2.

(1)求证:MN∥平面PCD

(2)求证:平面PAC⊥平面PBD

(3)求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1)见解析 (2)见解析(3)

【解析】

(1)先证明平面MEN∥平面PCD,再由面面平行的性质证明MN∥平面PCD;

(2)证明AC⊥平面PBD,即可证明平面PAC⊥平面PBD;

(3)利用锥体的体积公式计算即可.

(1)证明:取AD的中点E,连接MENE

MNPABC的中点,

∴在△PAD和正方形ABCD中,MEPDNECD

又∵MENE=EPDCD=D

∴平面MEN∥平面PCD

MN平面MNE

MN∥平面PCD

(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,

ACBD

又∵PD⊥底面ABCD

PDAC

PDBD=D

AC⊥平面PBD

∴平面PAC⊥平面PBD

(3)PD⊥底面ABCD

PD是四棱锥P-ABCD的高,且PD=1,

∴正方形ABCD的面积为S=4,

∴四棱锥P-ABCD的体积为

VP-ABCD=×S四边形ABCD×PD=×4×1=

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