Question

4．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点P作直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，若直线AB过原点，k₁k₂=2，则双曲线的离心率等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答 解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴两式相减整理可得$\frac{{y}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∴k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴该双曲线的离心率e=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．