Question

14．已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+a）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． [2$\sqrt{2}$，4）
• B． [2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+2]
• C． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• D． [2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令t=x²-ax+a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤\sqrt{2}\\ 2-\sqrt{2}a+a≥0\end{array}\right.$，由此解得实数a的取值范围．

解答 解：令t=x²-ax+a，则由函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+a）在（$\sqrt{2}$，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间（$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数且t（$\sqrt{2}$）≥0，
故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤\sqrt{2}\\ 2-\sqrt{2}a+a≥0\end{array}\right.$，解得a≤2$\sqrt{2}$，
故实数a的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$]，
故选：C

点评 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．