题目内容

14.已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(x2-ax+a)在($\sqrt{2}$,+∞)上是减函数,则a的取值范围是(  )
A.[2$\sqrt{2}$,4)B.[2$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$+2]C.(-∞,2$\sqrt{2}$]D.[2$\sqrt{2}$,+∞)

分析 令t=x2-ax+a,则由题意可得函数t在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0,故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤\sqrt{2}\\ 2-\sqrt{2}a+a≥0\end{array}\right.$,由此解得实数a的取值范围.

解答 解:令t=x2-ax+a,则由函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(x2-ax+a)在($\sqrt{2}$,+∞)上为减函数,
可得函数t在区间($\sqrt{2}$,+∞)上为增函数且t($\sqrt{2}$)≥0,
故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤\sqrt{2}\\ 2-\sqrt{2}a+a≥0\end{array}\right.$,解得a≤2$\sqrt{2}$,
故实数a的取值范围是(-∞,2$\sqrt{2}$],
故选:C

点评 本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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