题目内容
【题目】已知函数
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递增区间为
,单调减区间为
(2)
【解析】
(1)将代入函数
的解析式,求出该函数的定义域和导数,然后分别解不等式
和
,即可得出该函数的减区间和增区间;
(2)由题意得出不等式对任意的
恒成立,构造函数
,利用导数分析出函数
在区间
上的单调性,得出该函数的最大值
,结合
,可求出实数
的取值范围.
(1)当时,
,其定义域为
,
则,当
时
,当
时
,
故函数的单调递增区间为
,单调减区间为
;
(2)不等式,即
,即
,
由题可知在
上恒成立,
令,则
,
令,则
,
①若,则
,函数
在
上单调递增,
所以,则
,不符合题意;
②若,则当
时
,函数
在
上单调递增,
所以当时,
,则
,不符合题意;
③若,则
在
上恒成立,函数
在
上单调递减,
所以,所以
,符合题意.
综上,,故实数
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.
(1)若选取的3组数据恰好是连续天的数据(
表示数据来自互不相邻的三天),求
的分布列及期望:
(2)根据12月2日至4日数据,求出发芽数关于温差
的线性回归方程
.由所求得线性回归方稻得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否可靠?
附:参考公式:.