题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点
的距离与到定直线
的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞2）的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）利用两点间的距离公式和抛物线的定义可知曲线C1为抛物线，由抛物线C1的对称轴、焦点、准线可知：C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，得出即可；
（2）由于曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称，设出直线l2的斜率可得直线CD的方程，与抛物线方程联立，联立根与系数的关系即可得出弦长|CD|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有
，
化简，得抛物线C1的方程为：
．
令x=0，得y=0或
，
令y=0，得x=0或
，
∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）和
，
．
由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为
，化为
．
可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．
又焦点
到
的距离为
．
∴C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为
，
则
得y2+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y1+y2=-4k，y1•y2=-4kb，
设弦CD的中点为G（x3，y3），则y3=-2k，x3=k（b+2k）．
∵G（x3，y3）在直线l2上，-2k=k（bk+2k2-m），即
②
将②代入①，得0＜k2＜m-2，
=
=
设t=k2，则0＜t＜m-2．
构造函数
，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，当
，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．
当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．
点评：熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、换元法、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法是解题的关键．
（2）由于曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称，设出直线l2的斜率可得直线CD的方程，与抛物线方程联立，联立根与系数的关系即可得出弦长|CD|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有
，化简，得抛物线C1的方程为：
．令x=0，得y=0或
，令y=0，得x=0或
，∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）和
，．由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为
，化为．可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．
又焦点
到的距离为．∴C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为
，则
得y2+4ky-4kb=0，∴△=16k（k+b）＞0①
∴y1+y2=-4k，y1•y2=-4kb，
设弦CD的中点为G（x3，y3），则y3=-2k，x3=k（b+2k）．
∵G（x3，y3）在直线l2上，-2k=k（bk+2k2-m），即
②将②代入①，得0＜k2＜m-2，
==设t=k2，则0＜t＜m-2．
构造函数
，0＜t＜m-2．由已知m＞2，当
，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．
点评：熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、换元法、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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