Question

【题目】已知函数与互为相反数，且，函数的定义域为.

（1）求的值；

（2）若，求的值域；

（3）若函数的最大值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）a＝log32．（2）[﹣2，0]．（3）λ．

【解析】

（1）先求得，再根据f（a+2）＝18计算a；

（2）令t＝2x，结合二次函数闭区间上最值的求解即可．

（3）讨论对称轴与区间[1，2]的关系得出h（t）的单调性，根据最大值为计算λ．

（1）由题意函数与互为相反数，∴，

又∵f（a+2）＝3a+2＝18，∴3a＝2，即a＝log32．

（2）当时，由（1）可知，

令t＝2x，

由x∈[0，1]可得t∈[1，2]，g（t）＝t﹣t2在[1，2]上单调递减，

故当t＝1时有最大值0，t＝2时有最小值﹣2，

故值域[﹣2，0]．

（3）∵函数的最大值为，由（2）可知：即为h（t）＝﹣t2+λt，t∈[1，2]的最大值为，

①若2即λ≥4，则h（t）在[1，2]上单调递增，

∴h（2）＝﹣4+2λ，解得λ（舍）．

②若1即λ≤2时，则h（t）在[1，2]上单调递减，

∴h（1）＝﹣1+λ，解得λ（舍）．

③若12，即2＜λ＜4，则h（t）在[1，2]上先增后减，

∴h（），解得λ（舍负）．

综上，λ．