题目内容
【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（
，
）
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年流入量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）
；（2）2台.
【解析】
（1）求出
，
，
，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）记水电站的总利润为
（单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数．
解：（1）依题意，
，
，
，
由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：
．
（2）记水电站的总利润为Y（单位，万元）
安装1台发电机的情形：
由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润
，
，
安装2台发电机的情形：
依题意，当
时，一台发电机运行，此时
，
因此
，
当
时，两台发电机运行，此时
，因此，
，
由此得Y的分布列如下
Y | 3400 | 8000 |
P | 0.2 | 0.8 |
所以
．
安装3台发电机的情形：
依题意，当时，一台发电机运行，此时
，
因此
，
当
时，两台发电机运行，此时
，因此，
，
当
时，三台发电机运行，此时
，因此，
，
由此得Y的分布列如下
Y | 2800 | 7400 | 12000 |
P | 0.2 | 0.7 | 0.1 |
所以
．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
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