题目内容
【题目】设椭圆的右焦点为
,过
的直线
与椭圆
交于
两点,已知点
的坐标为
.
(Ⅰ)当与
轴垂直时,求点A、B的坐标及
的值
(Ⅱ)设为坐标原点,证明:
.
【答案】(Ⅰ)A或
,
=
(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)把代入椭圆方程求出
坐标,可得
;
(Ⅱ)当l与x轴重合,l与x轴垂直时易证明,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,
,由直线方程与椭圆方程联立,消元整理后应用韦达定理得
,然后用
计算
结果为0,结论得证.
解:(Ⅰ)由已知得,l的方程为x=1.代入椭圆方程得
,
,
所以A或
,
=
(Ⅱ)当l与x轴重合时,.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,
,
则,直线MA,MB的斜率之和为
.
由得
.
将代入
得
.
所以, .
则.
从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以
.
综上,.
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