Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2 ， 问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，x∈（1，+∞），

令g（x）=x2﹣2ax+1，由题意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1个零点，

∴g（1）＜0，解得：a＞1

（2）解：若f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”，

则x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，

令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣ ）x2﹣2ax+lnx，

则h′（x）= ，

①2a﹣1≤0即a≤ 时，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，且h（1）=﹣ ﹣a，

∴h（1）≤0，解得：﹣ ≤a≤ ；

②2a﹣1＞0即a＞ 时，y=（a﹣ ）x2﹣2ax的图象开口向上，

存在x0＞1，使得（a﹣ ） ﹣2ax0＞0，

从而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，

令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx= x2﹣2ax+a2lnx，

则m′（x）= ≥0，m（x）在（1，+∞）递增，

由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤ ，

综上，a∈[﹣ ， ]时，f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”．

【解析】（1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范围即可；（2）根据“分界函数”的定义，只需x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．