题目内容
【题目】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费x（万元） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量y（吨） | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝axb（a，b＞0），即lny＝blnx+lna．，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
|
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|
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75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
（Ⅱ）根据所给数据，求
关于
的回归方程；
（Ⅲ） 若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为
（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中
）
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）100万元
【解析】
（Ⅰ）利用古典概型计算公式即可得到结果；
（Ⅱ）分别求出u，v的平均数，求出相关系数求出回归方程即可；
（Ⅲ）设该公司的年利润为
，因为利润=销售收入-总成本，根据二次函数的图象与性质求最值即可.
解：(Ⅰ)记事件
表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为
，其余四年为
，则从6年中任取2年共有
，
15种不同取法，
事件包括
，共14种取法，故
（Ⅱ）对
两边取对数得
，令
得
，由题中数据得：
，
，
所以
，由
，得
，
故所求回归方程为
（Ⅲ）设该公司的年利润为
，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
，
所以当
即
时，利润
取得最大值500（万元），故2019年该公司投入100万元的宣传费才能获得最大利润.
