Question

【题目】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣传费x（万元）	38	48	58	68	78	88
年销售量y（吨）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝axb（a，b＞0），即lny＝blnx+lna．，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.

（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；

（Ⅲ） 若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中）

附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）100万元

【解析】

（Ⅰ）利用古典概型计算公式即可得到结果；

（Ⅱ）分别求出u，v的平均数，求出相关系数求出回归方程即可；

（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，根据二次函数的图象与性质求最值即可.

解：(Ⅰ)记事件表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为，其余四年为，则从6年中任取2年共有， 15种不同取法，

事件包括，共14种取法，故

（Ⅱ）对两边取对数得，令得，由题中数据得：，

，

所以，由，得，

故所求回归方程为

（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知

，

所以当即时，利润取得最大值500（万元），故2019年该公司投入100万元的宣传费才能获得最大利润.