题目内容
【题目】如图在四棱锥中,底面
为矩形,
,
,平面
平面
,
为等腰直角三角形,且
,
为底面
的中心.
(1)求异面直线与
所成角的余弦值;
(2)若为
中点,
在棱
上,若
,
,且二面角
的正弦值为
,求实数
的值.
【答案】(1).(2)
.
【解析】
(1)根据面面
,
,得到
面
,以
为原点建立空间直角坐标系,得到
,
的坐标,根据向量夹角公式,得到异面直线
与
所成角的余弦值;(2)设
,从而得到
点坐标,结合(1)取平面
的法向量
,求出平面
的法向量为
,通过法向量表示出二面角
的余弦值,根据其正弦值为
,列出关于
的方程,求出
的值.
(1)∵为等腰直角三角形,
∴,
∵面面
,
面面
,
面
∴面
,
∵底面为矩形, 所以
,
,
三条线两两垂直.
以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
知,
,
,
,
,
,
,
,
所以异面直线与
所成角的余弦值为
.
(2)结合(1)知,
面
,
取平面的法向量
.
∵,
,
,
∴,∴
,
设平面的法向量为
,
又,
,
,即
,
令,得
,
又因为二面角的正弦值为
,
所以,
而,
即,
解得.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】自贡农科所实地考察,研究发现某贫困村适合种植,
两种药材,可以通过种植这两种药材脱贫.通过大量考察研究得到如下统计数据:药材
的亩产量约为300公斤,其收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如下表:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
单价(元/公斤) | 18 | 20 | 23 | 25 | 29 |
药材的收购价格始终为20元/公斤,其亩产量的频率分布直方图如下:
(1)若药材的单价
(单位:元/公斤)与年份编号
具有线性相关关系,请求出
关于
的回归直线方程,并估计2020年药材
的单价;
(2)用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量,若不考虑其他因素,试判断2020年该村应种植药材
还是药材
?并说明理由.
参考公式:,
(回归方程
中)
【题目】影响消费水平的原因很多,其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法,在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平(单位:万元).
地区 | 上海 | 江苏 | 浙江 | 安徽 | 福建 |
职工平均工资 | 9.8 | 6.9 | 6.4 | 6.2 | 5.6 |
城镇居民消费水平 | 6.6 | 4.6 | 4.4 | 3.9 | 3.8 |
(1)利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平,求出线性回归方程,其中
,
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否可靠?(的结果保留两位小数)
(参考数据:,
)