题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上单调递减,求
的取值范围;
(2)若在
处取得极值,判断当
时,存在几条切线与直线
平行,请说明理由;
(3)若有两个极值点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得恒成立 ,构造函数,令
,由导函数的解析式可知
在
递增,在
递减, 据此计算可得实数a的取值范围.
(Ⅱ) 由在
处取得极值可得
.原问题等价于求解
在区间
内解的个数,结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验
时函数
不存在极值点,所以不存在满足题意的实数
,也不存在满足题意的切线.
(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设
,易知
,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.
(Ⅰ)由已知,恒成立
令,
则,
,令
,解得:
,令
,解得:
,
故在
递增,在
递减,
,由
恒成立可得
.
即当在
上单调递减时,
的取值范围是
.
(Ⅱ)在
处取得极值,则
,可得
.
令,即
.
设,则
.
故在
上单调递增,在
上单调递减,
注意到,
,
则方程在
内只有一个实数根,
即当时,只有一条斜率为
且与函数
图像相切的直线.
但事实上,若,则
,
,
故函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
且,故函数
在区间
上恒成立,
函数在区间
上单调递减,即函数不存在极值点,
即不存在满足题意的实数,也不存在满足题意的切线.
(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设
,
由(Ⅰ)可知,且:
①,
②,
由①-②得:,
即 ,
由①+②得:,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定:
、
、
三级为合格等级,
为不合格等级.
百分制 |
|
|
|
|
等级 |
为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照
的分组作出频率分布直方图如图
所示,样本中分数在
分及以上的所有数据的茎叶图如图
所示.
(1)求和频率分布直方图中的
的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选人,求至少有
人成绩是合格等级的概率;
(3)在选取的样本中,从、
两个等级的学生中随机抽取了
名学生进行调研,记
表示所抽取的
名学生中为
等级的学生人数,求随机变量
的分布列及数学期望.