题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,椭圆
的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆
上任意一点到两个焦点的距离之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
两点,求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆定义得,又椭圆
的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,由椭圆几何条件得
,解得
,
(2)联立直线
与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求得
,再利用点到直线距离公式求高,根据三角形面积公式得
.最后利用基本不等式求最值.
试题解析:解:(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为
.
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,
∴.
又,∴
.
由,得
.
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设.
联立消去
,得
.
此时有.
由一元二次方程根与系数的关系,得
,
.
∴.
∵原点到直线
的距离
,
∴.
由,得
.又
,∴据基本不等式,得
.
当且仅当时,不等式取等号.
∴面积的最大值为
.
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练习册系列答案
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及格( | 不及格 | 合计 | |
很少使用手机 | |||
经常使用手机 | |||
合计 |
(2)从50人中,选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙,解一道数列题,甲、乙独立解决此题的概率分别为,
,
,若
,则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”,记
为两人中解决此题的人数,若
,问两人是否适合结为“师徒”?
参考公式及数据: ,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |