Question

19．f（x）=${9}^{x+\frac{1}{2}}$-3^x+a，x∈[1，2]的最大值为5，求其最小值．

Answer 1

分析 设t=3^x（3≤t≤9），则y=3t²-t+a=3（t-$\frac{1}{6}$）²+a-$\frac{1}{12}$，求出对称轴和区间[3，9]的关系，可得增区间，计算可得a，进而得到最小值．

解答 解：设t=3^x（3≤t≤9），
则y=3t²-t+a=3（t-$\frac{1}{6}$）²+a-$\frac{1}{12}$，
的对称轴为t=$\frac{1}{6}$，区间[3，9]在对称轴的右边，为增区间，
即有t=9，即x=2时取得最大值，且为243-9+a=5，
解得a=-229，
由t=3，即x=1时取得最小值，且为27-3+a=24-229=-205．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．