题目内容
已知向量
=(x，1-x)，
=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．
（1）是否存在x，使得
⊥
或
∥
？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．
（2）求函数f(x)=
•
在区间[
，
]上的最值．（参考公式[lnf(x)]′=
）
| a |
| b |
（1）是否存在x，使得
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求函数f(x)=
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| f′(x) |
| f(x) |
分析：（1）通过x=
，求出
，
的关系，得到
∥
，计算
•
说明不垂直．
（2）求出向量的数量积，化简后求出函数的导数，利用导数值的符号求出函数的单调区间，求出函数的最值．
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求出向量的数量积，化简后求出函数的导数，利用导数值的符号求出函数的单调区间，求出函数的最值．
解答：解：（1）例如，当x=
时，
=(
，
)，
=(-ln2，-ln2)=-2ln2•
，
∥
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.
•
=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，从而
与
不垂直．
（2）函数f(x)=
•
=xlnx+(1-x)ln(1-x)
f′(x)=1nx+x•
-ln(1-x)+(1-x)•
=lnx-ln(1-x)，
令f′(x)=0得x=
当
≤x＜
时，x＜
＜1-x，f′（x）＜0，f（x）在区间[
，
)上是减函数：
当
＜x≤
时，1-x＜
＜x，f′（x）＞0，f（x）在区间(
，
]上是增函数；
所以f（x）在x=
时取得最小值，且最小值f(
)=-ln2，
又f(
)=f(
)＜f(
)=
ln
+
ln
=
ln3-21n2
故f（x）在x=
时取得最大值，且最大值f(
)=
ln3-2ln2．
| 1 |
| 2 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a |
| a |
| b |
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）函数f(x)=
| a |
| b |
f′(x)=1nx+x•
| 1 |
| x |
| -1 |
| 1-x |
令f′(x)=0得x=
| 1 |
| 2 |
当
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
所以f（x）在x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又f(
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
故f（x）在x=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查向量的数量积的应用，考查函数的导数的应用，求出函数的最值是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=(x，1)，
=(3，6)，且
⊥
，则实数x的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
| B、-2 | ||
| C、2 | ||
D、-
|