Question

若（a-

1

4

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，其中

a2

a3

=

3

4

；
（1）求实数a的值；
（2）求（a₀+2²a₂+2⁴a₄+…+2¹⁰a₁₀）²-（2a₁+2³a₃+2⁵a₅+…+2⁹a₉）²的值．

Answer 1

（1）∵二项展开式的通项公式为ar=Tr+1=

C

r10

a10-r(-

1

4

x)r，
∴

a2

a3

=

C 210 a8(- 1 4 )2

C 310 a7(- 1 4 )3

=-

3

2

a=-

3

4

，
∴a=

1

2

，
（2）令x=2，得：a0+2a1+22a2+23a3+…+210a10=0，
令x=-2，得：a0-2a1+22a2-23a3+…+210a10=1，
设A0=a0+22a2+…+210a10，A1=a1+23a3+…+29a9，
则A₀+A₁=0，A₀-A₁=1，
∴

A

20

-

A

21

=(A0+A1)(A0-A1)=0．