Question

4．x²-2ax+2≥a在x∈[-1，+∞）上恒成立，求a范围．

Answer 1

分析 区分图象的对称轴与区间[-1，+∞）的关系，根据二次函数在对称轴两边的单调性，求最小值即可．

解答 解：设f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
∴f（x）图象的对称轴为x=a
为使f（x）≥a在[-1，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[-1，?+∞）上的最小值比a大或等于a即可
当a≤-1时，f（-1）最小，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{f（-1）=1+2a+2≥a}\end{array}\right.$，
解得-3≤a≤-1
当a≥-1时，f（a）最小，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{f（a）=2-{a}^{2}≥a}\end{array}\right.$
解得-1≤a≤1
综上所述-3≤a≤1，．

点评 本题考查二次函数在给定区间上的恒成立问题，关键是讨论对称轴与区间的关系，转化为对称轴左右单调性相反，从而确定函数最值，属于中档题．