题目内容
(2013•顺义区二模)已知椭圆G:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,F1,F2为椭圆G的两个焦点,点P在椭圆G上,且△PF1F2的周长为4+4
.
(Ⅰ)求椭圆G的方程
(Ⅱ)设直线l与椭圆G相交于A、B两点,若
⊥
(O为坐标原点),求证:直线l与圆x2+y2=
相切.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆G的方程
(Ⅱ)设直线l与椭圆G相交于A、B两点,若
OA |
OB |
8 |
3 |
分析:(Ⅰ)由已知得,
=
且2a+2c=4+4
,联立方程组解出即得a,c,再由b2=a2-c2求得b值;
(Ⅱ)由题意可知,直线l不过坐标原点,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),分情况讨论:(ⅰ)当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=m(m≠0)且-2
<m<2
,联立直线方程与椭圆方程易求A,B坐标,由
⊥
得x1x2+y1+y2=0,可求m,从而易判断直线与圆垂直;(ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程消掉y得x的二次方程,由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k,m的方程①,根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d,结合①式可求得d值,其恰好等于半径r;
c |
a |
| ||
2 |
2 |
(Ⅱ)由题意可知,直线l不过坐标原点,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),分情况讨论:(ⅰ)当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=m(m≠0)且-2
2 |
2 |
OA |
OB |
解答:(Ⅰ)解:由已知得,
=
且2a+2c=4+4
,
解得a=2
,c=2,
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为
+
=1;
(Ⅱ)证明:由题意可知,直线l不过坐标原点,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),
(ⅰ)当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=m(m≠0)且-2
<m<2
,
则x1=m,y1=
,x2=m,y2=-
,
∵
⊥
,∴x1x2+y1+y2=0,
∴m2-(4-
)=0,解得m=±
,
故直线l的方程为x=±
,
因此,点O(0,0)到直线l的距离为d=
,
又圆x2+y2=
的圆心为O(0,0),半径r=
=d,
所以直线l与圆x2+y2=
相切;
(ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,
由
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴x1+x2=
,x1x2=
,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
,
∵
⊥
,∴x1x2+y1y2=0,
故
+
=0,即3m2-8k2-8=0,3m2=8k2+8,①
又圆x2+y2=
的圆心为O(0,0),半径r=
,
圆心O到直线l的距离为d=
,
∴d2=(
)2=
=
②,
将①式带入②式得
d2=
=
,
所以d=
=r,
因此,直线l与圆x2+y2=
相切.
c |
a |
| ||
2 |
2 |
解得a=2
2 |
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为
x2 |
8 |
y2 |
4 |
(Ⅱ)证明:由题意可知,直线l不过坐标原点,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>y2),
(ⅰ)当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=m(m≠0)且-2
2 |
2 |
则x1=m,y1=
4-
|
4-
|
∵
OA |
OB |
∴m2-(4-
m2 |
2 |
2
| ||
3 |
故直线l的方程为x=±
2
| ||
3 |
因此,点O(0,0)到直线l的距离为d=
2
| ||
3 |
又圆x2+y2=
8 |
3 |
2
| ||
3 |
所以直线l与圆x2+y2=
8 |
3 |
(ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,
由
|
∴x1+x2=
-4km |
1+2k2 |
2m2-8 |
1+2k2 |
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
m2-8k2 |
1+2k2 |
∵
OA |
OB |
故
2m2-8 |
1+2k2 |
m2-8k2 |
1+2k2 |
又圆x2+y2=
8 |
3 |
2
| ||
3 |
圆心O到直线l的距离为d=
|m| | ||
|
∴d2=(
|m| | ||
|
m2 |
1+k2 |
3m2 |
3(1+k2) |
将①式带入②式得
d2=
8k2+8 |
3(1+k2) |
8 |
3 |
所以d=
2
| ||
3 |
因此,直线l与圆x2+y2=
8 |
3 |
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查分类讨论思想,考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力,弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识,要熟练掌握.

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