题目内容
2.求函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上的最值.分析 对f(x)配方得到$f(x)=-4(x-\frac{a}{2})^{2}-4a$,可以看出对称轴为x=$\frac{a}{2}$,需讨论对称轴和区间[0,1]的关系:分$\frac{a}{2}≤0,0<\frac{a}{2}≤\frac{1}{2},\frac{1}{2}<\frac{a}{2}<1,和\frac{a}{2}≥1$四种情况,在每种情况里,根据二次函数f(x)在[0,1]上的单调性,及取得顶点情况和比较端点值,从而可求出每种情况下f(x)的最值.
解答 解:f(x)=-4x2+4ax-4a-a2=$-4(x-\frac{a}{2})^{2}-4a$;
①若$\frac{a}{2}≤0$,即a≤0,则f(x)在[0,1]上单调递减;
∴f(0)=-4a-a2是f(x)的最大值,f(1)=-4-a2是f(x)的最小值;
②若$0<\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}$,即0<a≤1,则:f($\frac{a}{2}$)=-4a是f(x)的最大值,f(1)=-4-a2是最小值;
③若$\frac{1}{2}<\frac{a}{2}<1$,即1<a<2,则:f($\frac{a}{2}$)=-4a是f(x)的最大值,f(0)=-4a-a2是最小值;
④若$\frac{a}{2}≥1$,即a≥2,f(x)在[0,1]上单调递增;
∴f(0)=-4a-a2是f(x)的最小值,f(1)=-4-a2是f(x)的最大值.
点评 考查函数最值的概念,二次函数的对称轴,二次函数的单调性,根据函数单调性及取得顶点情况,及对端点值的比较从而求出二次函数在闭区间上最值的方法,要熟悉二次函数图象.
练习册系列答案
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A. | ln2-1 | B. | 1-ln2 | C. | 2ln2-3 | D. | 3-2ln2 |